复频域分析

The Root Locus Method

实际上传递函数就是个复变函数，$s$ 是个复变量，传递函数是在复域讲的。这里的复频域分析指的是根轨迹，意思是在 $s$ 平面上研究系统的性能。具体研究的范围：某一参数变化对闭环系统极点（系统性能）的影响。

这是个很重要的图解法，某一参数的变化对闭环极点位置的影响。闭环极点位置随着参数变化而运动的轨迹就是根轨迹。这个根指的是闭环传递函数分母为0的根，即特征方程的根，也就是闭环极点。所以根轨迹能直接看出系统的稳定性如何，性能大概是啥样，实质是$D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0$的解。

这个方法再早些年还没计算机的时候应该时挺好用的，比如说做比例控制的时候，确定一个差不多的增益，直接跟着感觉画画，闭环极点的运动轨迹就有了，系统稳定性也可以看个大概了。如果有人说你这也不精确啊，工程嘛，大差不差，还有一部分东西是试出来的。

根轨迹是个什么含义？

根轨迹的含义：开环传递函数参数变化时，闭环特征方程的根在 $s$ 平面上的运动轨迹。根轨迹图上的零极点是开环传递函数的，但是轨迹上的点都是闭环特征方程的极点。

The root locus is the path of the roots of the characteristic equation traced out in the 𝑠-plane as a system parameter is changed.

一个系统为：

开环传递函数为 $G(s)H(s)$，根轨迹增益写零极点形式即首1型：

$G(s)H(s) = \frac{K^*\prod \limits_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod \limits_{j=1}^n(s-p_j)}$

闭环传递函数为：

$\Phi(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

闭环特征方程的解即极点决定了系统的稳定性，闭环极点满足下面这个式子：

$1 + G(s)H(s) = 0$

也就是

闭环系统的极点满足*式，$G(s)H(s)$ 东西还正好是开环传递函数，就是这么巧。再进一步，*式叫根轨迹方程，作为一个复数表达式，换个形式可以写成有幅值相角，也就是极点轨迹的幅值条件(Magnitude criterion)和相角条件(Angle criterion)：

$\vert G(s)H(s) \vert = K^*\frac{\prod \limits_{i=1}^m\vert(s-z_i)\vert}{\prod \limits_{j=1}^n\vert(s-p_j)\vert}$

$\angle{G(s)H(s)} = \sum_{i=1}^m\angle(s-z_i) - \sum_{j=1}^n(s-p_j) = (2k+1)\pi$

相角条件是点在根轨迹上的充要条件；该点对应的 $K*$ 值，由幅值条件求出。

考试比较看重的根轨迹画法实际上全是两个条件推出来的二级结论。

广义根轨迹

我觉得人的思维比较强的地方就是演绎，比如货币可以不足值，演绎一下就有了0价值的纸币，挺有意思。广义根轨迹就是根轨迹的一个演绎，通过一些奇思妙想，充分的在不同地方使用同一个工具。有了负反馈条件下的根轨迹，有时候需要用到正反馈条件下的根轨迹，还有除了根轨迹增益之外其他参数变化时的根轨迹，通过一个巧妙的转化，实际上还是普通根轨迹的那些东西。

参数根轨迹

这里还是举例子吧，比如说对于一个单位反馈系统的开环传递函数：

$G(s) = \frac{(s+a)/4}{s^2(s+1)}$

这个问题，如果把 $a$ 提出啦，表面是个根轨迹增益形式，但是这么处理零点也在跑，所以不能这么处理。但是对于这个开环传递函数，系统的闭环传递函数分母（特征多项式）是 $D(s) = s^3 + s^2 + s/4 + a/4 = 0$ ，有个好玩的事情，这个特征多项式也适用于这个开环传递函数：

$G^*(s) = \frac{a/4}{s(s + 1/2)^2}$

这个等效传递函数的根轨迹我是会画的，因为根轨迹指的是闭环传递函数特征多项式的极点运动轨迹，所以两个传递函数画出来的是一个根轨迹。但是画完以后，就不用这个等效的了，还是用原来的来分析系统性能。

零度根轨迹

系统实际为正反馈时候的根轨迹。

根轨迹分析系统性能

本质上还是极点对系统的影响，不过不是固定极点了，因此要求特别熟悉极点零点位置与响应的关系。

根轨迹画法（8条法则）

这个怎么说呢，现在画根轨迹可以用matlab一个函数就完事了。所以我觉得对于理解来讲，这一部分并不是最重要的，因此这块内容被放到了最后面。

用matlab画根轨迹，举个例子，对于一个单位反馈系统开环传递函数为：

$G(s) = \frac{K^*}{s(s+1)(s+2)}$

num = [1];                             %开环分子多项式系数
den = conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));   %开环分母多项式系数
sys = tf(num,den);                         
rlocus(sys);                           %画根轨迹
axis([-3 1 -3 3]);                     %坐标范围

运行一下

但是作为考试的话，还是个熟能生巧的事情，还得练练。就多画画，法则有8条：

• 1.起点终点

起于开环极点，终止于开环零点或无穷远。

（模值条件推）

• 2.分支数、对称性、连续性

根轨迹分支数=开环极点书=特征方程阶数；根轨迹上下对称且连续。

• 3.实轴上的根轨迹

最右侧开始数，奇数点到偶数点之间的是根轨迹。

（相角条件推）

零度根轨迹：和这个刚好相反

• 4.闭环特征根之和为常数

当$n-m \ge 2$时，$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=C$

其实这个东西在二元一次方程里有个根与系数的关系。那么不负责任的猜想这个是不是在复数方程、高阶一元多次方程的推广呢？

这个定理的用处是有根往右跑，那么一定要有根往左跑。

• 5.渐近线

$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{align} \sigma_a &= \frac{\sum_{i=1}^np_i - \sum_{j=1}^mz_j}{n-m} \\ \varphi_a &= \frac{(2k+1)\pi}{n-m} \end{align} \right. \end{array}$$

渐近线交点和渐近线夹角。

零度根轨迹：

$$ \varphi_a = \frac{2k\pi}{n-m} $$

• 6.根轨迹分离点

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{d - p_i} = \sum_{j=1}^m \frac{1}{d - z_j}$

• 7.与虚轴交点

临界稳定点。

$s=j\omega$带入特征方程，有$D(j\omega) = 0$

• 8.出射角/入射角

$\sum_{j=1}^m \angle(s-z_j) - \sum_{i=1}^n \angle(s-p_i) = (2k+1)\pi$

零度根轨迹：

$$ \sum_{j=1}^m \angle(s-z_j) - \sum_{i=1}^n \angle(s-p_i)  = 2k+\pi $$

举例子

根轨迹更多的时感觉。零极点画出来，跟着感觉勾一下。所以还是得多看看怎么画，然后就有感觉了。