控制理论基础

自动控制基本原理

什么是自动控制？

自动控制是指在没有人参与的情况下，利用外加设备，使系统的某个状态按照预定规律运行。

The automatic control is the technology which is under the circumstance of no person participating directly, making using of additional equipment or device (control device, controller or regulator), makes some operates states or parameters (control variables) of equipment, plant and process automatically follow the pre-arranged regulation.

自动控制的核心是反馈。反馈控制的原理是使用被控量的反馈信息来修正被控量与输入量之间的偏差。反馈控制实质上是用偏差进行控制的过程，更进一步说，反馈控制原理就是按偏差进行控制。

为了实现反馈控制，必须有传感器、比较元件、控制元件，这三个东西可以统称为控制装置。自动控制系统就是被控对象和控制装置组成的整体系统。

**控制系统**：由相互关联的部件按一定的结构构成的系统，能够提供预期的系统响应。

**Control System**：An interconnection of components forming a system configuration that will provide a desired system response.

**自动控制系统**：无人直接参与的控制系统，称为自动控制系统。

A control system without people involved directly is called **automatic control system**.

开环控制的例子：电风扇，3档调速，开环调的。洗衣机洗衣服，衣服的干净程度，拧个定时到时间就听了，这个例子有点勉强，干净程序这还真不好找传感器去测。

闭环控制的例子：空调温度控制和冰箱温度控制，应该是闭环的、带继电特性的非线性控制系统。

经典方法研究的数学模型

个人认为在实际工程里使用控制理论的分析方法的时候这一步最重要，但是考试的时候，后面的方法最重要。先从物理系统搞出这么个式子，才好对这个式子进行各种分析。和建立这个式子相比，分析方法可能显得不那么困难了，实际系统往往是建模比较困难，但是只要有了模型，分析起来一个MATLAB函数就解决了。

我记得我在本科学《自动控制原理》的时候，学的云里雾里，眼里只有一堆s的多项式，最后考完试了，只会把各种做题技巧用到了这个s的多项式上，如果有人问我这个多项式是啥，我都答不上来。。。这就学的很失败。

首先从一个系统的数学描述上讲：

系统=>微分方程=传递函数=状态空间表达式=控制框图=零极点分布图=波特图=幅相图

也就是说，一个系统可以被表达为多种形式，“系统”就是微分方程，就是传递函数，就是框图，就是零极点分布图，就是波特图，就是幅相图。在工程师眼里各种各样的力学、电学等系统，在搞理论的人的眼里没有本质区别，一个线性定常微分方程罢了。这就是数学抽象的威力，普适的分析方法适用于所有可以用微分方程表达出来的系统。甚至可以认为所有的方法都是在分析一个微分方程，分析系统的稳定性就是在分析这个微分方程的稳定性。这就是应用数学中数学的一面，脱离物理世界可以独自成为一套体系。也正是因为这种抽象，考试考的是抽象出来系统的数学分析手段，所以会做题反而比较容易。

对于经典控制理论里单输入单输出的线性连续控制系统，后面要展开的所有的分析方法，都是在分析下面这个微分方程：

$$a_{n}\frac{d^{n}c(t)}{dt^{n}} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}c(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{1}\frac{dc(t)}{dt} + a_{0}c(t) = \\ b_{m}\frac{d^{m}r(t)}{dt^m} + b_{m-1}\frac{d^{m-1}r(t)}{dt^{m-1}} + \cdots + b_{1}\frac{dr(t)}{dt} + b_{0}r(t)$$

上面“微分方程的稳定性”看起来是我随手一写，实际上不是的。我可不是随手写的，我是查过资料有准备的😂😂，数学系的课程《常微分方程》就有常微分方程稳定性理论，如果对状态空间有了解，肯定熟悉李雅普诺夫稳定性，李雅普诺夫是俄国的**数学家**，稳定性的概念是由他创立的。

所以一直强调控制理论是数学，并不是因为数学计算多开玩笑的说这是数学课。事实上这真的是数学课，只不过控制工程里使用了数学方法，所以会作为控制专业的专业课。这也充分体现了数学在工程里的重要性，学好数学很重要。

后面非线性里的相平面分析，还会提到数学通法相平面应用在非线性控制系统里面这个事。

To understand and control complex systems, one must obtain **quantitative** mathematical models of these systems. The tools are differential equations.

To simplify the method of solution, it is often necessary to linearize the systems by the introduction of some assumptions.

Then the Laplace transform can be utilized to obtain a solution.

数学模型是一个定量问题，准确认识事物的量是认识的深化和精确化。

Mathematical models are the mathematical expressions that describe the relationships of the system physical variables.

在工程上要应用各种分析校正方法前，要先有这么个方程出来，然而实际上还挺不容易的，对于简单的比如：RLC串联电路（二阶电系统）、弹簧——阻尼器系统（汽车悬挂）...通过解析法，或者叫机理分析硬推出来也是可以的。好多系统推出来不是线性，需要使用稳定点线性化的方法或者非线性分析的方法。对于一些推不出来，就需要用系统辨识的方法了。

**Transfer function**: The transfer function of a linear system is defined as the ratio of the
Laplace transform of the output variable to the Laplace transform of the input variable, with all initial conditions assumed to be zero. The transfer function is:

$$  \frac{\text{Output}}{\text{Input}} = G(s) = \frac{\mathcal{L}[c(t)]}{\mathcal{L}[r(t)]} = \frac{C(s)}{R(s)} $$

A general express of transfer function is:

$$ G(s) = \frac{b_ms^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_1s + b_0 }{ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots a_1s + a_0 } $$

The transfer function have another two forms:

1.Root Locus standard form:

$$ G(s) = \frac{K^*\prod \limits_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod \limits_{j=1}^n(s-p_j)} $$

2.Time constant standard form:

$$ G(s) = \frac{K \prod \limits_{i=1}^m( \tau_is + 1)}{\prod \limits_{j=1}^n(T_js+1)} $$

位置伺服控制举例

典型的，一个位置伺服控制系统。

（要做仿真，从来没有完整的理论分析过一次电机控制）

这里建模

建模时用到的数学手段

对一整个系统写微分方程不是很容易，但是对于一个元件来说还是比较容易的，因此先建立元件传递函数模型。一个元件是一个方框(Block)，然后按照系统信号的流动关系通过信号线(Signal line)连接成系统，这就是结构框图(Block Diagram)。这就出来了个新问题，怎么从结构图导出整个系统的传递函数，即结构图的等效化简问题。

在《信号与系统》里面更喜欢用信号流图(signal-flow graph)，控制框图和信号流图是等价的。

控制框图变换(block diagram reduction techniques)（比较点(Summing point)和引出点(Pickoff point)的移动原则）要遵循信号不变的原理。有物理思维在里面，但是用起来还是不方便。有人找了个更通用的数学公式，梅森增益公式(Mason's Gain Formula)，这就是纯数学方法，这是数学家给工程师的财富：

$G(s) = \frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} p_k \Delta_k$

其中信号流图的特征式$\Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_bL_c - \sum L_dL_eL_f + \cdots$

纯数学方法就不考虑为什么是这样了，多练练会用就好了。

拿到一个信号流图，先找出所有回路(Loop)。这点很关键，有些图的回路很崎岖。

列出来回路增益

$l_1, l_2, \cdots$

写出两两互不接触回路中，所有的任意两个回路增益积$l_i l_j$

信号与系统里面复频域分析，传递函数被叫做了系统函数H(s)，也强调分母，这是肯定的，因为稳定性的概念是一样的，但是描述有区别。信号与系统花了大量的篇幅在拉普拉斯和傅里叶的东西，正好补充了自动控制原理。

后面要学一学，对自动控制原理、信号、系统的理解会更深刻。

Block diagrams are unidirectional, operational blocks that represent the transfer functions of the elements of the system.

开环与反馈

控制理论描述的系统是带有反馈的闭环系统，反馈也是自动控制的核心。但是控制理论也关注打断闭环以后的开环传递函数。大多数时候，系统本来是开环的，反馈则是人为引入的，因此使用开环去分析闭环系统是一个重要思路。在后面分析的时候一定要注意，什么时候说开环，什么时候在讲闭环。

开环和闭环的联系点：

闭环分母（闭环特征多项式） = 开环传递函数分子 + 分母

为啥会这样呢？其实写个式子看看就明白了，这个我觉得不应该当成定理背，但是还是要特意说出来。我当时学的时候一会儿开一会儿闭，画的是开环，分析的是闭环，晕的不行。

**开环控制系统**的输出端与输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响，直接利用执行机构对过程进行控制。

An open-loop control system utilizes an actuating device to control the process directly without using feedback.

**闭环控制系统**的输出端与输入端之间存在反馈回路，输出量对系统的控制作用有影响。

A closed-loop control system uses a measurement of output and feedback of this signal to compare it with the desired output (reference or command).

**复合控制系统**既包含开环控制，又包含闭环控制。

A combination control system (CCS) consists of open-loop system (OLS) and closed-loop system (CLS), i.e. CCS = OLS + CLS

Evaluate a Control System

The fundamental requirements of control systems are as follows:

• Stability: stability, smooth and steady.

• Swiftness: peak time $t_p$ , settling time $t_s$ and percent overshoot $\sigma \%$ .

• Accuracy: steady-sate error: $𝑒_{𝑠𝑠}$