离散系统分析

分析，即稳定性，稳态误差，动态性能。

稳定性

有了数学模型，又要执着的证明稳不稳了、什么情况下稳了。毕竟这是应用数学，不证明不专业，不像是个搞理论的。

前面简单的提了一下z变换表面上看是做了个代换$z = e^{Ts}$

可以看出虚轴是映射到z平面单位圆了，稳定区域到单位圆里面了。

主带映射为整个z平面，满足采样频率的情况下，所有零极点都是落在主带里的。次要带就不管了。

这种映射有个小问题是，左半平面映射到单位圆里，数据密度过高，所有要求的计算精度比较高

当然还是要严格证明一下

$\Phi(z) = \sum_{j=1}^n \frac{ C_jz }{z - \beta_j}$

由稳定性的定义，单位脉冲响应的最终输出为0，也就是说$\Phi(z) = C(z)$，要求$c(k) = 0$

$k \to \infty, c(k) = \sum_{j=1}^n C_j \beta_j^k = 0$

那么$\mid \beta_j \mid < 1$，也就是说，极点的模小于1.

定理是这么个定理，但是用起来不方便。为了使用的方便，做一个双线性变换把z平面映射w平面，使得判断方法和在z平面的判断方法一样。这时候就可以直接用s平面的劳斯判据了。劳斯判据再数学上是判断根的实部的位置，但是在控制理论里有了稳定这一层的含义。因此这个方法和字母没有关系，映射之后方法是通用的。

但是为啥s映射到z又映射到w呢，这个w和一开始的s啥关系呢？由多对一再到一对一映射，实际上相当于把s的主要带映射到整个w平面了。

双线性变换

$$\begin{array}{} \left\{ \begin{align} z &= \frac{w+1}{w-1}\\ w &= \frac{z+1}{z-1}\\ \end{align} \right. \end{array}$$

这个映射使得z平面的单位圆映射为w的虚轴。

这时候用Routh判据没有任何问题。

然后又有人觉得做个映射还不是很方便，能不能直接研究z平面的特征多项式，像劳斯判据一样直接用系数来判断根在不在单位圆里稳定性，这就有了朱利(Jurry)判据。

这反正也是个纯数学工具，就考试来讲记住用就完事了。

举个例子，忘记的时候回来复习（关键词：朱利判据例题）

$D(z) = -39 + 119z -117z^2 + 45z^3 = 0$

首先$D(1) > 0$，$D(-1) < 0$，最高次数是3，要小于0。这个先要满足，然后列出jurry表。

Jurry	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$
1	$-39$	$119$	$-117$	$45$
2	$45$	$-117$	$119$	$-39$
3	$b_0$	$b_1$	$b_2$
4	$b_2$	$b_1$	$b_0$