# 矩阵分析 ## 课程内容 线性空间与线性映射。 线性空间的抽象定义，是个集合，这个集合上有加法，数乘，并且满足通常的运算规则。 * 标准向量空间，数组 * 几何空间，有向线段作为元素 * 函数空间，函数作为元素 线性空间与线性映射研究抽象的线性相关性理论，首先要熟悉线性代数的基础知识。一个向量组线性无关、线性相关，以及一个向量组由另一个向量组线性表示，然后立即把这个概念用抽象线性方程组的语言来表示。然后建立关于向量组的秩和极大线性无关组的理论。在此基础上，引入线性空间的维数和基的概念。然后子空间，交与并，向量组张成的子空间。线性映射与线性变换，核心概念，线性映射的矩阵表示，用坐标来计算线性映射。用线性映射的矩阵表示理论来研究矩阵的等价与相似，矩阵的等价相当于换基底。还有相似，相似是线性变换，出口基和入口基一样。 Jordan标准型。多项式矩阵，单位模阵，多项式矩阵的初等变换，Simith标准型，行列式因子，不变因子，初等因子。然后建立一个桥梁：矩阵的相似和多项式矩阵的等价。通过研究特征矩阵的simth标准型，就可以设计出一个简单的所谓标准型，每个初等因子，我们设计jordan块，建立起Jordan标准型的理论。 内积，在抽象线性空间内，定义了二元函数。给两个向量算出一个数来，对称线性正定。内积在数学上的性质非常好，只要知道两个向量组的交叉内积，就可以知道向量组张成的子空间中任意两个向量的内积，gram矩阵。有了内积的前提，可以定义长度，夹角（实数），而且符合勾股定理，这里面有个核心推理：柯西-不等式。在几何空间，长度夹角是本源，内积是推理概念。为了把推理方法模拟到更复杂的空间，先研究内积，然后把长度内积作为导出概念。有了勾股定理可以用几何方法来解决最优逼近问题，用投影。把一个向量像子空间投影，就是找一个向量距离最近。然后讨论标准正交基，非标准可以schmidt方法，好处是沿着标准正交基展开求系数的时候是解耦的(其矩阵表达为QR分解)。标准正交基非常好，所以要看看前面的概念在标准正交基下，是什么样子，具体化。酉矩阵(标准正交基对应的基矩阵，变换保长度，保夹角)，正交矩阵。什么时候一个矩阵可以用标准正交基相似于对角阵，正规矩阵。其中一个特例重点讲了Hermite矩阵，用酉矩阵化成对角线，且一定是实数，所以建立了正定矩阵的概念。Hermite矩阵，还建立起奇异值分解的概念。 最后向量与矩阵范数，有了范数可以定义矩阵的极限，有了极限可以定义微分、积分，分析学的概念可以模拟过来了。矩阵微积分。 ## 参考资料 * [视频 哈尔滨工业大学 矩阵分析-严质彬](https://www.bilibili.com/video/BV19x411878L) * [视频 麻省理工学院 - MIT - 线性代数](https://www.bilibili.com/video/BV16Z4y1U7oU) * 知乎 [@忆臻](https://www.zhihu.com/people/qinlibo_nlp) * [MIT线性代数课程精细笔记 第一课](https://zhuanlan.zhihu.com/p/28277072) * [MIT线性代数课程精细笔记 第二课](https://zhuanlan.zhihu.com/p/28325166) * [MIT线性代数课程精细笔记 第三课](https://zhuanlan.zhihu.com/p/28325166) * [MIT线性代数课程精细笔记 第四课](https://zhuanlan.zhihu.com/p/28490221) * [矩阵分析学习笔记汇总](https://zhuanlan.zhihu.com/p/376155957) ## 介绍 线性空间并不只是我们生活的三维空间，但是我们可以从三维空间去类比理解。用直观理解抽象，然后再用抽象去理解万物，同时深化对抽象本质的理解。 应用数学用来解决实际问题，线性空间建立的过程就是把实际问题数学化的过程。把具体的抽象成数学的，然后用数学的方法来解决。 尽管已经学过了线性代数，研究过线性系统了。但是“线性”的深层次含义，需要从一个更高的视角，来思考什么是运算。为了研究运算，又不得不看看运算的对象(或者叫元素)，这就来到了集合的性质上。集合被称为了空间，性质比较好的集合叫做了域。 一个一般的集合，如果有比较好的运算性质，那么就看作是一个线性空间。 有了线性空间，和空间里的元素(向量)，由此引出组合、相关、无关的问题，度量空间的能力。再然后，空间的维数，为了去确定一个元素，需要和其他元素(基)做对比。 线性空间的建立，是为了揭示表面上毫不相关的东西背后的逻辑结构。数学的威力就在于此。 比如平面几何代数化。几何我们看得到，数学运算和几何毫不相关，但是可以用解析法搞一些东西。 几何空间还是可以想象到的，如果来个函数空间，用几何的方法解决这个抽象空间的问题，这是数学的另一种思考方式。 直观抽象化，抽象直观化，这两个事情来回倒腾，互相帮助理解。 线性空间的引入，把熟悉的几何空间的方法抽象到一般的线性空间框架下。解析几何的核心是建立坐标系，把几何量变为代数量，现在需要把这个思想也迁移到抽象空间，去建立抽象空间的坐标系。 坐标系的选择是有条件的，由此需要线性相关、向量组的表示、一系列问题需要解决。 解决了谁可以当坐标系的问题，就可以在线性空间里搞一个基，顺其自然也就有坐标了。 $$\[抽象向量] = \[基矩阵]\[坐标]$$ 在选择基的问题上，我们还致力于寻找“最简单”的表示。同一个变换在不同的基选择下有不同的举证表示，这就是矩阵相似的来源。最简表示问题就变成了数学上的随意一个矩阵，是否可以对对角化的问题，如果无法对角化，那么最简单的相似形式是Jordan标准形。 完全用几何的观点也可以发展出Jordan标准形，但是这里选择了另一条路，从多项式出发，研究Jordan标准形。 ## 定义定理 线性空间是定义在集合上的，有加法和数乘两种运算，因此还需要一个数域，满足八条性质。此时称为集合 $$\mathbf{V}$$ 是数域 $$\mathbb{F}$$ 上的线性空间。 线性空间是个集合，这个集合里的元素叫做向量，这里讨论向量的线性组合和相关性，虽然形似线性代数的概念，但是要注意这里已经是抽象向量了，我们在把集合中的向量的东西模拟到一个抽象空间里。 有了向量的概念，集合空间中的一些其他概念也可以模拟到抽象空间里了。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://control.xym.work/3_advanced_math/2_matrix_analysis.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.